5/1のマイナンバーカードでのオンライン申請初日の12時はアクセス集中でエラーになったため、15時に入力し直して申請できてからは、なしのつぶてでした。
エラー原因は、仕組みとして使われていたSalesforce/Herokuがアクセス集中に耐えられなかった事に因る電子署名のデータ連携エラーと考えられ、その後もパスワードリセットのリクエスト増大に伴う基幹側のエラーか、ポータル側かどちらが悪いか不明ですが、アクセス集中に依るエラーをいまだに頻発させているようです。

申請できてからは、進捗についてメールも郵送書類も来ないし、オンライン申請が郵送より遅いという報道もあって、当分進まないんだろうなぁと諦めていました。

それが予想に反して、4人家族分40万円が5/13に振り込まれていたことに気づきました。
ありがとうございました！日本政府、川口市職員ご担当の方々。
振り込まれてから2日経過して気づきましたが、メールでも、書類でも、「送金したよ」の一言も無いです。お金さえ頂ければ良いので、OKなんですが。。
川口市のHPに依ると、書類の発送は5月下旬からの想定とあり、それをそのまま信用するなら、今もオンライン申請の方が、入金までの期間が早いと言えます。

オンライン申請するための条件は、次の5つ。
①世帯主がマイナンバーカードを持っている。
②マイナンバーカードの「署名用電子証明書」は有効期限内。

　

　　(有効期限内なのに、表記されていない場合もあります)
③署名用電子証明書の暗証番号（6～16文字の数字・英大文字で構成）を覚えている。
④利用者証明用電子証明書の暗証番号（4ケタの数字で構成）を覚えている。
⑤マイナンバーカードに対応したカードリーダーとパソコンか、
　
　マイナンバーカード読取対応スマホを持っている。